数学の問題2

半径1の半円の重心の場所を示せ。

半径1の半円を

$x^2+y^2\leq1$ $(x\geq 0)$

とする。

原点 $(0,0)$ に関して力のモーメントのつり合いから対称性により、重心は $x$ 軸上に存在する。その重心を $(t,0)$ とする。半円の面積を $S$ とすると

$t \times S=\int_0^1 2x \sqrt{1-x^2} dx$

ここで右辺を解く。

$1-x^2=a$ とすると

$\frac{x | 0 \rightarrow 1}{a | 1 \rightarrow 0}$

$-2xdx=da$

となる。よって

$S=\frac{\pi}{2}$ なので

$t=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{3\pi}$

したがって、半径1の半円の重心は直線部分の中心から $\frac{4}{3\pi}$ 離れた法線上にある。

積分を使って重心を求める問題。思いついた当時画期的かなと思ったけどいろいろ調べると結構出てくるのでオリジナリティは薄いかな。半球体の重心を求めるえぐい問題もあったりして。

Wikipediaにはいろいろな図形の重心一覧があったりして、便利な世の中になったものだなぁと思いました。