数学の問題1

ふと思い出したので昔のノートひっくり返したのですが、自分で作っておきながらさっぱり解けない。道筋は見えてるんだけど計算するのが面倒、みたいな。

問題

$y=-x^2$ の2つの接線が成す角が $\theta$ の時、2つの接線の交点 $P$ の軌跡を求めよ。

とりあえず解答。（合ってんのかなぁ。。。）

解答

2つの接線を $l$ , $m$ とし、それぞれの接点を $A$ , $B$ とする。

接点 $A$ , $B$ の $x$ 座標を $a$ , $b$ とすると、接線は

$l$ : $y=-2ax+a^2$

$m$ : $y=-2bx+b^2$

となる。

次に、 $P(X,Y)$ とおくと

$X=\frac{a+b}{2}$ ・・・(1)

$Y=-ab$ ・・・(2)

となる。

また、 $x$ 軸の正方向と $l$ と $m$ の $y>0$ の部分が成す角を $\alpha$ , $\beta$ とすると

$\tan\alpha=-2a$

$\tan\beta=-2b$

となる。

また、 $\beta-\alpha=\theta$ となるので

$\tan\theta=\tan(\beta-\alpha)$

$=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1 \tan\alpha\tan\beta}$

$=\frac{-2a+2b}{1+4ab}$ ・・・(3)

となる。

次に、(1),(2)を(3)を平方したものに代入すると

$\tan^2\theta=\frac{16(X^2+Y)}{(1-4Y)^2}$

となる。

$X$ と $Y$ の式に変換すると

$-\frac{X^2}{\frac{1}{4\sin^2\theta}}+\frac{(Y-(\frac{1}{4}+\frac{1}{2\tan^2}\theta))^2}{\frac{1}{4\tan^2\theta\sin^2\theta}}=1$

の双曲線となる。