数学の問題1

ふと思い出したので昔のノートひっくり返したのですが、自分で作っておきながらさっぱり解けない。道筋は見えてるんだけど計算するのが面倒、みたいな。
  • 問題
y=-x^2の2つの接線が成す角がθの時、2つの接線の交点Pの軌跡を求めよ。

とりあえず解答。(合ってんのかなぁ。。。)

  • 解答
2つの接線をl,mとし、それぞれの接点をA,Bとする。
接点A,Bx座標をa,bとすると、接線は
l : y=-2ax+a^2
m : y=-2bx+b^2
となる。
次に、P(X,Y) とおくと
X=(a+b)/2 ・・・(1)
Y=-ab ・・・(2)
となる。
また、x軸の正方向とlmy>0の部分が成す角をα,βとすると
tanα=-2a
tanβ=-2b
となる。
また、β-α=θ となるので
tanθ=tan(β-α)

          =(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

          =(-2a+2b)/(1+4ab) ・・・(3)

となる。
次に、(1),(2)を(3)を平方したものに代入すると
tan^2θ=(16(X^2+Y))/(1-4Y)^2
となる。
XYの式に変換すると
の双曲線となる。